Question

已知函数f（x）=x²+alnx-2（a＞0）
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＞2（a-1）成立，试求实数a的取值范围；
（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．当a=1时，方程g（x）=0在区间[e^-1，e]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=x²+alnx-2（a＞0），知f（x）的定义域为（0，+∞）．f′(x)=-

2

x2

+

a

x

，且知直线y=x+2的斜率为1．由此能求出f（x）的单调区间．
（ II） 由f′(x)=-

2

x2

+

a

x

=

ax-2

x2

，推导出当x=

2

a

时，函数f（x）取得最小值，ymin=f(

2

a

)．因为对任意的x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，所以f(

2

a

)＞2(a-1)即可．由此能求出a的取值范围．
（ III）依题意得g(x)=

2

x

+lnx+x-2-b，则g′(x)=

x2+x-2

x2

．由此能推导出b的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+alnx-2（a＞0），
∴函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
∵f′(x)=-

2

x2

+

a

x

，且知直线y=x+2的斜率为1．
∴f′(1)=-

2

12

+

a

1

=-1，解得a=1．
∴f(x)=

2

x

+lnx-2.f′(x)=

x-2

x2

．
由f'（x）＞0，解得x＞2；由f'（x）＜0，解得0＜x＜2．
所以f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）
（ II） f′(x)=-

2

x2

+

a

x

=

ax-2

x2

．
由f'（x）＞0，解得x＞

2

a

；由f'（x）＜0解得0＜x＜

2

a

．
所以f（x）在区间(

2

a

，+∞)上单调递增，在区间(0，

2

a

)上单调递减．
所以当x=

2

a

时，函数f（x）取得最小值，ymin=f(

2

a

)．
因为对任意的x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，
所以f(

2

a

)＞2(a-1)即可．
∴

2

2 a

+aln

2

a

-2＞2(a-1)．即aln

2

a

＞a，解得0＜a＜

2

e

．
所以a的取值范围是(0，

2

e

)．
（ III）依题意得g(x)=

2

x

+lnx+x-2-b，则g′(x)=

x2+x-2

x2

．
由g'（x）＞0解得x＞1；由g'（x）＜0解得0＜x＜1．
所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．
又因为方程g（x）=0在区间[e^-1，e]上有两个不同的实根，
所以

g(e-1)≥0 g(e)≥0 g(1)＜0

，
解得1＜b≤

2

e

+e-1．
所以b的取值范围是(1，

2

e

+e-1]．

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，考查推理论证能力，考查等价转化思想，考查分类讨论思想，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．