Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n与a_n满足S_n=1-a_n（n∈N⁺）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由S₁=1-a₁可求得a₁，当n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1可求得2a_n=a_n-1?

an

an-1

=

1

2

，{a_n}为首项与公比均为

1

2

的等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）依题意，T_n=1×

1

2

+2×

1

22

+…+n×

1

2n

，利用错位相减法即可求得数列{na_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）由S₁=1-a₁得：a₁=1-a₁，解得：a₁=

1

2

．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=1-a_n-（1-a_n-1），
化简得：2a_n=a_n-1，故

an

an-1

=

1

2

．
所以，a_n=

1

2

×(

1

2

)n-1=

1

2n

．
（2）由题意得：T_n=1×

1

2

+2×

1

22

+…+n×

1

2n

      ①
∴

1

2

T_n=1×

1

22

+2×

1

23

+…+（n-1）×

1

2n

+n×

1

2n+1

     ②
①-②得：

1

2

T_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-n×

1

2n+1

 
=

1 2 ×(1- 1 2n )

1- 1 2

-n•

1

2n+1

=1-

1

2n

-n•

1

2n+1

，
∴T_n=2-

2+n

2n

=

2n+1-n-2

2n

．

点评：本题考查等比数列的通项公式与求和公式，突出考查错位相减法，求得a_n=

1

2n

是关键，属于中档题．