题目内容

如图，在△ABC中，已知A（-3，0），B（3，0），CD⊥AB于D，△ABC的垂心为
H且 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求点H的轨迹方程；
（Ⅱ）设P（-1，0），Q（1，0），那么 $数学公式$ 能否成等差数列？请说明理由；
（Ⅲ）设直线AH，BH与直线l：x=9分别交于M，N点，请问以MN为直径的圆是否经过定点？并说明理由．

解：（Ⅰ）设点C（x，y），由题意得H（x， $\text{[math]}$ y），
则 $\text{[math]}$ ，由于AC⊥BH，
于是 $\text{[math]}$ ，
又y=0时 $\text{[math]}$ 共线，不合题意．故点C的轨迹方程为 $\text{[math]}$ （y≠0）．
设点H（x，y），C（x₀，y₀），则 $\text{[math]}$ （y₀≠0），
由 $\text{[math]}$ 得到点H的轨迹方程为 $\text{[math]}$ ．（4分）
（Ⅱ）设 $\text{[math]}$ ，则
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
故 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ 不能构成等差数列．（9分）
（Ⅲ）设M（9，m），N（9，n），则A（-3，0），B（3，0），
于是 $\text{[math]}$
由A，H，M三点共线得 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ；
由B，H，N三点共线得 $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ，以MN为直径的圆的方程为 $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$ （舍）或 $\text{[math]}$ ．故以MN为直径的圆必过椭圆外定点（17，0）．（15分）
分析：（Ⅰ）设点C（x，y），由题意得H（x， $\text{[math]}$ y），则 $\text{[math]}$ ，由于AC⊥BH，于是 $\text{[math]}$ ，又y=0时 $\text{[math]}$ 共线，不合题意．故点C的轨迹方程为 $\text{[math]}$ （y≠0）．由此能得到得到点H的轨迹方程为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，由此能得到 $\text{[math]}$ 不能构成等差数列．
（Ⅲ）设M（9，m），N（9，n），则A（-3，0），B（3，0），于是 $\text{[math]}$ ，由A，H，M三点共线得 $\text{[math]}$ ．由B，H，N三点共线得 $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ，以MN为直径的圆的方程为 $\text{[math]}$ ，由此能得以MN为直径的圆必过椭圆外定点（17，0）．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件．