Question

7．已知在平面直角坐标，$\overrightarrow{a}$=（-1，2），点A（8，0），B（n，t），非零向量$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{c}$|=2|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{c}$+3$\overrightarrow{b}$|．
（1）若$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{a}$，且|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{5}$|$\overrightarrow{OA}$|（O为坐标原点），求向量$\overrightarrow{OB}$的坐标；
（2）求$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b}$夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）求出$\overrightarrow{AB}$的坐标，根据$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{a}$，且|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{5}$|$\overrightarrow{OA}$|列出方程组，解出n，t．
（2）根据2|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{c}$+3$\overrightarrow{b}$|得出$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$与|$\overrightarrow{b}$|的关系，代入夹角公式解出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}$=（n-8，t），∵$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{a}$，∴8-n+2t=0，∵|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{5}$|$\overrightarrow{OA}$|，
∴（n-8）²+t²=5×8²，解得n=-8，t=8，或n=24，t=-8．
∴$\overrightarrow{OB}$=（-16，8）或（16，-8）．
（2）∵|$\overrightarrow{c}$|=2|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{c}$+3$\overrightarrow{b}$|，∴${\overrightarrow{c}}^{2}$=4${\overrightarrow{b}}^{2}$=${\overrightarrow{c}}^{2}$+9${\overrightarrow{b}}^{2}$+6$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$．∴$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=-$\frac{3}{2}$${\overrightarrow{b}}^{2}$，∴cos＜$\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}$＞=$\frac{\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{c}|}$=-$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了平面向量数量积运算的坐标公式，平面向量的夹角公式，属于中档题．