题目内容
（本小题满分12分）
如果两个椭圆的离心率相等，那么就称这两个椭圆相似.已知椭圆
与椭圆
相似，且椭圆的一个短轴端点是抛物线
的焦点.
（Ⅰ）试求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设椭圆
的中心在原点，对称轴在坐标轴上，直线
与椭圆交于
两点，且与椭圆交于
两点.若线段
与线段
的中点重合，试判断椭圆与椭圆是否为相似椭圆？并证明你的判断.
【答案】
（Ⅰ）
.（Ⅱ）椭圆
与椭圆
是相似椭圆. 证明见解析。
【解析】
试题分析：（Ⅰ）椭圆
的离心率为
， 抛物线
的焦点为
.
设椭圆的方程为
，由题意，得： 
，解得
，
∴椭圆的标准方程为 .
………………………………4分
（Ⅱ）解法一：椭圆与椭圆是相似椭圆.
………………………………5分
联立和
的方程，
，消去
，得
， ……6分
设
的横坐标分别为
，则
.
设椭圆的方程为
，
…………………………………7分
联立方程组
，消去，得
,
设
的横坐标分别为
，则
.
∵弦
的中点与弦
的中点重合，∴
，
，
∵
，∴化简得
， ……………………………10分
求得椭圆的离心率
，
………………………12分
∴椭圆与椭圆是相似椭圆.
解法二：（参照解法1评分）
设椭圆的方程为
，
.
∵在椭圆上，∴
且
，两式相减并恒等变形得
.
由在椭圆上，仿前述方法可得
.
∵弦的中点与弦的中点重合，
∴，求得椭圆的离心率， 即椭圆与椭圆是相似椭圆.
考点：本题主要考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系。
点评：综合题，判断椭圆与椭圆是否为相似椭圆，主要是要把握好“如果两个椭圆的离心率相等，那么就称这两个椭圆相似”这一定义，“点差法”是常用方法．
练习册系列答案
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，且
。①求
的最大值及最小值；②求
、
、
.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求：
