Question

【题目】已知数列的前项和为，，且，数列满足，，对任意,都有.

（1）求数列、的通项公式；

（2）令.若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）利用，结合累乘法，求得数列的通项公式.根据已知条件判断出数列是等比数列，由此求得数列的通项公式.

（2）利用错位相减求和法求得，利用差比较法证得是递增数列，由此求得的取值范围.化简不等式，得恒成立.构造函数，对进行分类讨论，结合二次函数的性质，求得的取值范围.

（1）∵∴，

当时，

∴，即

∴

又,也满足上式，故数列的通项公式

由，知数列是等比数列，其首项为、公比为，

∴数列的通项公式

（2）∵①

∴②

由①②，得

∴

∵，∴

又恒正.

故是递增数列，

∴

又.

不等式，

即，

即恒成立.

设，

当时，恒成立，则满足条件；

当时，由二次函数性质知不恒成立；

当时，由于对称轴

则在上单调递减，

恒成立，则满足条件，

综上所述，实数的取值范围是.