Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，
且AB=AA₁，D，E，F分别是B₁A，CC₁，BC的中点．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：B₁F⊥平面AEF；
（3）设AB=a，求三棱锥D-AEF的体积．

Answer 1

分析：（1）取AB中点O，连接CO，DO，根据中点寻找平行线即可；
（2）易证AF⊥B₁F，在根据勾股定理的逆定理证明B₁F⊥EF；
（3）由于点D是线段AB₁的中点，故点D到平面AEF的距离是点B₁到平面AEF距离的

1

2

，求出高按照三棱锥的体积公式计算即可．

解答：解：（1）取AB中点O，连接CO，DO
∵DO∥AA1，DO=

1

2

AA1，∴DO∥CE，DO=CE，
∴平行四边形DOCE，∴DE∥CO，DE?平面ABC，CO?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．（4分）
（2）等腰直角三角形△ABC中F为斜边的中点，∴AF⊥BC
又∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴面ABC⊥面BB₁C₁C，∴AF⊥面C₁B，∴AF⊥B₁F
设AB=AA₁=1，∴B1F=

6

2

，EF=

3

2

，B1E=

3

2

，∴B₁F²+EF²=B₁E²，∴B₁F⊥EF
又AF∩EF=F，∴B₁F⊥面AEF．（8分）
（3）由于点D是线段AB₁的中点，故点D到平面AEF的距离是点B₁到平面AEF距离的

1

2

．B1F=

a2+( 2 2 a)2

=

6

2

a，所以三棱锥D-AEF的高为

6

4

a；在Rt△AEF中，EF=

3

2

a，AF=

2

2

a，所以三棱锥D-AEF的底面面积为

6

8

a2，故三棱锥D-AEF的体积为

1

3

×

6

8

a2×

6

4

a=

1

16

a3．（12分）

点评：立体几何中的中点与中点之间可以产生平行线，当问题涉及到中点时可以通过再找其中的中点作出辅助线；垂直关系的证明，关键是线线垂直的证明，基本方法是通过线面垂直证明线线垂直、计算证明线线垂直；在计算三棱锥体积时，一个技巧是更换顶点便于求出其高、一个是借助于顶点与其它点的关系求出其高度．