Question

已知点A（-1，0）、B（1，0），P（x₀，y₀）是直线y=x+2上任意一点，以A、B为焦点的椭圆过点P．记椭圆离心率e关于x₀的函数为e（x₀），函数e（x₀）的最大值是________．

Answer 1

分析：由题意可得c=1，椭圆离心率e= 故当a取最大值时e取最小，a取最小值时e取最大，由椭圆的定义可得|PA|+|PB|=2a，a=，利用对称性可得结论．
解答：由题意可得c=1，椭圆离心率e=
故当a取最大值时e取最小，a取最小值时e取最大．
由椭圆的定义可得|PA|+|PB|=2a，a=．
设点A（-1，0）关于直线y=x+2的对称点的坐标为（m，n），则，解得m=-2，n=1
∴|PA|+|PB|的最小值为=
∴的最小值为
∴函数e（x₀）的最大值是
故答案为：
点评：本题考查椭圆的定义与几何性质，考查点关于直线的对称性，求得点A（-1，0）关于直线y=x+2的对称点的坐标是关键．