Question

已知函数f（x）=ax²-lnx．
（I）讨论函数f（x）单调性；
（Ⅱ）当a=-

1

8

，0＜t＜2时，证明：曲线y=f（x）与其在点P（t，f（t））处的切线至少有两个不同的公共点．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），
由f（x）=ax²-lnx，得：f′（x）=2ax-

1

x

．
（1）若a≤0，则f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）是减函数；
（2）若a＞0，由f′(x)=2ax-

1

x

=0，得：x=

2a

2a

．
则当x∈（0，

2a

2a

）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，

2a

2a

）是减函数；
当x∈（

2a

2a

，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（

2a

2a

，+∞）是增函数．
（Ⅱ）证明：曲线y=f（x）在P（t，f（t））处的切线方程为y=f′（t）（x-t）+f（t），
且P为它们的一个公共点．
当a=-

1

8

时，f(x)=-

1

8

x2-lnx，f′(x)=-

1

4

x-

1

x

，
设g（x）=f（x）-[f′（t）（x-t）+f（t）]，则g′（x）=f′（x）-f′（t），
则有g（t）=0，且g′（t）=0．
设h（x）=g′（x）=-

1

4

x-

1

x

-f′（t），则当x∈（0，2）时，h′（x）=-

1

4

+

1

x2

＞0，
于是g′（x）在（0，2）是增函数，且g′（t）=0，
所以，当x∈（0，t）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，t）是减函数；
当x∈（t，2）时，g′（x）＞0，g（x）在（t，2）是增函数．
故当x∈（0，t）或x∈（t，2]时，g（x）＞g（t）=0．
若x∈（2，+∞），则g（x）=-

1

8

x²-lnx-[f′（t）（x-t）+f（t）]
=-

1

8

x²+（

1

4

t+

1

t

）x-

1

8

t²-1-ln

x

t

＜-

1

8

x²+（

1

4

t+

1

t

）x-

1

8

t²-1=-

1

8

x（x-2t-

8

t

）-

1

8

t²-1．
当x＞2t+

8

t

时，g（x）＜-

1

8

t²-1＜0．
所以在区间（2，2t+

8

t

）至少存在一个实数x₀＞2，使g（x₀）=0．
因此曲线y=f（x）与其在点P（t，f（t））处的切线至少有两个不同的公共点．