题目内容

已知函数f（x）=（a-1）lnx+ax²．
（1）讨论函数y=f（x）的单调性；
（2）求证： $数学公式$ + $数学公式$ + $数学公式$ +…+ $数学公式$ ＞ $数学公式$ （n≥2，n∈N₊）；
（3）当a=0时，求证：f（x）≤ $数学公式$ - $数学公式$ ．

解：（1）f（x）=（a-1）lnx+ax²，定义域为（0，+∞）．
∵ $\text{[math]}$ ．
当a≥1时，f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a≤0时，f'（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调递减；
当0＜a＜1时，令f'（x）=0，解得 $\text{[math]}$ ．
则当 $\text{[math]}$ 时，f'（x）＜0； $\text{[math]}$ 时，f'（x）＞0．
故f（x）在 $\text{[math]}$ 单调递减，在 $\text{[math]}$ 单调递增．
（2）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，
由（1）知， $\text{[math]}$ 时，y=f（x）递增，
所以x＞1时， $\text{[math]}$
∵x＞1，
∴x²＞lnx＞0，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$
（3）就是要证 $\text{[math]}$ ，即需证 $\text{[math]}$ ．
令g（x）=xlnx，则由g'（x）=lnx+1=0，得 $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ 时g（x）递增，当 $\text{[math]}$ 时g（x）递减，
所以g（x）的最小值为 $\text{[math]}$ ．
设 $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ =0时，x=1．
当x＞1时g（x）递减；当0＜x＜1时g（x）递增．
所以?（x）的最大值为 $\text{[math]}$ ，
因为g（x）的最小值不小于?（x）的最大值，
即 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先求导得f^′（x），通过对a分类讨论即可得出；
（2）利用（1）的结论，取a= $\text{[math]}$ 时，当x＞1时，f（x）单调递增，f（x）＞f（1），从而得出x²＞lnx＞0，取倒数得 $\text{[math]}$ ，令x=k，再利用放缩和裂项求和即可得出；
（3）要证 $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ ?（xlnx）_min≥ $\text{[math]}$ ，利用导数分别求出其极值即最值即可证明．
点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值和最值、分类讨论的思想方法和等价转化的思想方法是解题的关键．