Question

【题目】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵与刍童的组合体中,． 台体体积公式： ， 其中分别为台体上、下底面面积， 为台体高.

（1）证明：直线 平面；

（2）若,， ，三棱锥的体积，求 该组合体的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）证明AD⊥MA，推出MA⊥平面ABCD，得到MA⊥BD．结合BD⊥AC，证明BD⊥平面MAC．
（2）设刍童ABCD-A1B1C1D1的高为h，利用几何体的体积公式，转化求解即可．

试题解析：

（1）证明：由题可知是底面为直角三角形的直棱柱，

平面 ,

又， , 平面，

,

又， 四边形为正方形， ，

又, 平面， 平面.

（2）设刍童的高为，则三棱锥体积

，所以,

故该组合体的体积为

.

（注：也可将台体补形为锥体后进行计算）