Question

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b=asinC．
（1）求$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$的值；
（2）若tanA=3，求tanB的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简得到的关系式，得到2sinB=sinAsinC，再由三角形的内角和定理及诱导公式得到sinB=sin（A+C），代入关系式中，利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据sinAsinC不为0，等式左右两边同时除以cosAcosC，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，即可得到所求式子的值；
（2）由已知及$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{1}{2}$，可求tanC，利用三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正切函数公式即可求tanB的值．

解答 解：（1）∵2b=asinC．
∴sinC=$\frac{2b}{a}$，
∵$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
∴$\frac{b}{a}=\frac{sinB}{sinA}$，
∴sinC=$\frac{2sinB}{sinA}$，即2sinB=sinAsinC，
∵A+B+C=π，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴2sinAcosC+2cosAsinC=sinAsinC，
∵sinA•sinC≠0，
∴$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{1}{2}$；
（2）∵tanA=3，$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{1}{2}$，
∴tanC=6，
∴tanB=-tan（A+C）=$\frac{tanA+tanC}{tanAtanC-1}$=$\frac{3+6}{3×6-1}$=$\frac{9}{17}$．

点评 此题考查了正弦定理，诱导公式，两角和与差的正弦、正切函数公式，二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．