题目内容
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-
与x=1时都取得极值．
（1）求a、b的值；
（2）若函数f（x）的图象与x轴有3个交点，求c的取值范围．
解：（1）f（x）=x3+ax2+bx，f′（x）=3x2+2ax+b
由f′（
）=
，f′（1）=3+2a+b=0
得a=
，b=-2
经检验，a=，b=-2符合题意
（2）由（1）得
∴f′（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1），
列表
，
要使函数f（x）的图象与x轴有3个交点，
须满足
解得
，
因此c的取值范围为：．
分析：（1）根据所给的函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，得到关于a，b的关系式，解方程组即可，写出函数的解析式．
（2）对函数求导，写出函数的导函数等于0的x的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，求出极值，令极大值大于零，极小值小于零，解此不等式组即可求得结果．
点评：本题考查利用导数研究函数的极值，以及函数图象与x轴交点个数问题，根据函数f（x）在在x=-与x=1时取得极值，且图象与x轴有且只有3个交点，等价于极大值大于0且极小值小于0，是解题的关键，体现了转化的数学思想方法，属中档题．
由f′（
）=，f′（1）=3+2a+b=0 得a=
，b=-2 经检验，a=
，b=-2符合题意（2）由（1）得
∴f′（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1），
列表
| x | （-∞，-） | - | （-，1） | 1 | （1，+∞） |
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | ↑ | 极大值 | ↓ | 极小值 | ↑ |
，要使函数f（x）的图象与x轴有3个交点，
须满足
解得
，因此c的取值范围为：
．分析：（1）根据所给的函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，得到关于a，b的关系式，解方程组即可，写出函数的解析式．
（2）对函数求导，写出函数的导函数等于0的x的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，求出极值，令极大值大于零，极小值小于零，解此不等式组即可求得结果．
点评：本题考查利用导数研究函数的极值，以及函数图象与x轴交点个数问题，根据函数f（x）在在x=-
与x=1时取得极值，且图象与x轴有且只有3个交点，等价于极大值大于0且极小值小于0，是解题的关键，体现了转化的数学思想方法，属中档题． 
练习册系列答案
期末金牌卷系列答案
轻松课堂标准练系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|