Question

已知函数f（x）=（a、b为常数且a≠0）满足f（2）=1且f（x）=x有唯一解．
（1）求f（x）的表达式；
（2）记x_n=f（x_n-1）（n∈N且n＞1），且x₁=f（1），求数列{x_n}的通项公式．
（3）记 y_n=x_n•x_n+1，数列{y_n}的前n项和为S_n，求证S_n＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）由ax²+（b-1）x=0有唯一解，知b=1，由f（2）=，知，由此能求出f（x）的表达式．
（2）由，知，由，知，由此能求出数列{x_n}的通项公式．
（3）由，知S_n=y₁+y₂+y₃+…+y_n=x₁x₂+x₂x₃+…+x_nx_n+1=4[（）+（）+…+（）]，由此能证明S_n＜．
解答：解：（1）由即ax²+（b-1）x=0有唯一解，∴b=1，
又f（2）=，∴，
∴，（4分）
（2）由，∴，（6分）
又，∴，
∴数列{}是以首项为，公差为的等差数列（8分）
∴，∴（10分）
（3）由（12分）
∴S_n=y₁+y₂+y₃+…+y_n=x₁x₂+x₂x₃+…+x_nx_n+1
=4[（）+（）+…+（）]
=4（）＜．（14分）
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意通项公式的求法和裂项公式的合理运用．