Question

给出下列4个命题：
①0＜a≤是f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为单调减函数的充要条件；
②函数f（x）=（e是自然对数的底数）的最小值为2；
③y=f（x）与它的反函数y=f^-1（x）的图象若相交，则交点必在直线y=x上；
④若α∈（π，），则＞1+tanα＞；
其中所有假命题的代号有    ．

Answer 1

【答案】分析：①由函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为单调减函数，分a=0和a＞0两种情况来讨论，可求得，由此可知①是假命题；
②由均值不等式可判断出不存在实数x使得等号成立，故函数f（x）不存在最小值；
③举反例：如指数函数的图象与对数函数的图象的交点有P（，）、Q（，）就是不在直线y=x上的两个交点，由此可知原结论不正确；
④由α∈（π，），可知0＜tanα＜1，可得（1-tanα）（1+tan）=1-tan²α＜1，于是；再根据均值不等式可得．
故④是真命题．
解答：解：①由函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为单调减函数，可得a=0或即，据此可知是函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为单调减函数的充分不必要条件，因此①是假命题；
②由均值不等式函数f（x）==≥2，由e^-x+2=1知不存在实数x使得等号成立，故函数f（x）不存在最小值；
③举例：如指数函数的图象与对数函数的图象的交点有P（，）、Q（，）就是不在直线y=x上的两个交点，由此可知原结论不正确；
④∵α∈（π，），∴0＜tanα＜1，∴1-tanα＞0，（1-tanα）（1+tanα）=1-tan²α＜1，＞1+tanα＞．
故假命题是①②③．
故答案为①②③．
点评：此题综合考查了函数的单调性、最值，均值不等式，反函数等有关知识．