Question

求函数f(x)=x+

2

x

，x＞0的单调区间．

Answer 1

分析：可根据定义法设x₁，x₂∈（0，+∞），然后代入函数f（x）作差判断求单调区间，也可用求导法根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减求解．

解答：解：求函数f(x)=x+

2

x

，x＞0的单调区间．
解法一：
设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁-x₂＜0f(x1)-f(x2)=x1+

2

x2

-x2-

2

x2

=(x1-x2)(1-

2

x1x2

)
当x1，x2∈(

2

，+∞)时，1-

2

x1x2

＞0，此时f（x₁）-f（x₂）＜0
所以函数f(x)=x+

2

x

在区间(

2

，+∞)上是增函数．
当x1，x2∈(0，

2

)时，1-

2

x1x2

＜0，此时f（x₁）-f（x₂）＞0
所以函数f(x)=x+

2

x

在区间(0，

2

)上是减函数．
解法二：因为f(x)=x+

2

x

，所以f′(x)=1-

2

x2

令f'（x）＞0及x＞0，得x＞

2

所以函数f(x)=x+

2

x

在区间(

2

，+∞)上是增函数
令f'（x）＜0及x＞0，得0＜x＜

2

所以函数f(x)=x+

2

x

在区间(0，

2

)上是减函数．

点评：本题主要考查求函数的单调区间的问题．求函数的单调区间一般有定义法和求导法两种情况．