Question

20．已知直线l与两坐标轴分别相交于点A、B．且S_△AOB=8．若AB的长等于原点O到直线l的距离的2倍，则直线l的方程为x+y-4=0或x-y-4=0或x+y+4=0或x-y+4=0．

Answer 1

分析 设直线的截距式方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1，由题意可得ab的方程组，解方程组可得．

解答 解：由题意设直线的截距式方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1，
化为一般式可得bx+ay-ab=0，
由题意可得S=$\frac{1}{2}$|ab|=8，即|ab|=16，①
再由点到直线的距离公式可得$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，即a²+b²=2|ab|，②
联立①②可解得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴所求直线的方程为x+y-4=0或x-y-4=0或x+y+4=0或x-y+4=0
故答案为：x+y-4=0或x-y-4=0或x+y+4=0或x-y+4=0

点评 本题考查直线的截距式方程，涉及点到直线的距离公式和三角形的面积公式，属中档题．