Question

4．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，S_n为前n天两只老鼠打洞长度之和，则S_n=${2}^{n}-\frac{1}{{2}^{n-1}}+1$尺．

Answer 1

分析 根据题意可知，大老鼠和小老鼠打洞的距离为等比数列，根据等比数列的前n项和公式，求得S_n．

解答 解：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，
前n天打洞之和为$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，
同理，小老鼠每天打洞的距离$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴Sn=2ⁿ-1+2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=${2}^{n}-\frac{1}{{2}^{n-1}}+1$，
故答案为：=${2}^{n}-\frac{1}{{2}^{n-1}}+1$．

点评 本题考查求等比数列的前n项和公式，要认真审题，属于基础题．