题目内容

如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A,B两点，点Q是点P关于原点的对称点。

（I）设点P分有向线段所成的比为，证明:

（II）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.

解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得   

     ①

设A、B两点的坐标分别是 、、x2是方程①的两根.

所以     

由点P（0，m）分有向线段所成的比为，

得

又点Q是点P关于原点的对称点，

故点Q的坐标是（0，－m），从而.

               

               

所以 

（Ⅱ）由 得点A、B的坐标分别是（6，9）、（－4，4）.

由   得

所以抛物线 在点A处切线的斜率为

设圆C的方程是

则

解之得

所以圆C的方程是 

即 

练习册系列答案
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精英家教网如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0，m）（m＞0）作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点．
（I）设点P分有向线段
AB
所成的比为λ，证明：
QP
⊥(
QA
-λ
QB
)
（Ⅱ）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．
如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0，m）（m＞0）作直线与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．
（I）若
AP
=λ
PB
(λ∈R)，证明：λ=-
x1
x2
；
（II）在（I）条件下，若点Q是点P关于原点对称点，证明：
QP
⊥(
QA
-λ
QB
)；
（III）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．
精英家教网如图，过抛物线x2=4y焦点的直线依次交抛物线与圆x2+（y-1）2=1于点A、B、C、D，则
AB
•
CD
的值是
 
．
（2012•绍兴模拟）如图，过抛物线x2=4y焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点（A在第一象限），点C（0，t）（t＞1）．
（I）若△CBF，△CFA，△CBA的面积成等差数列，求直线l的方程；
（II）若|AB|∈(
9
2
，
64
7
)，且∠FAC为锐角，试求t的取值范围．
如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0，m）（m＞0）作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点．
（I）设点P分有向线段所成的比为λ，证明：
（Ⅱ）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．

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