Question

如图，以原点O为顶点，以y轴为对称轴的抛物线E的焦点为F(0，1)，点M是直线l：y=m(m＜0)上任意一点，过点M引抛物线E的两条切线分别交x轴于点S，T，切点分别为B，A．
(Ⅰ)求抛物线E的方程；
(Ⅱ)求证：点S，T在以FM为直径的圆上；
(Ⅲ)当点M在直线l上移动时，直线AB恒过焦点F，求m的值．

Answer 1

解：(Ⅰ)设抛物线E的方程为，依题意，解得：p=2，
所以抛物线E的方程为。
(Ⅱ)设点，，否则切线不过点M，
∵，
∴切线AM的斜率，方程为，其中，
令y=0，得，点T的坐标为，
∴直线FT的斜率，
∵，
∴AM⊥FT，即点T在以FM为直径的圆上；同理可证点S在以FM为直径的圆上，
所以S，T在以FM为直径的圆上。
(Ⅲ)抛物线x²=4y焦点F(0，1)，
可设直线AB：y=kx+1，
由，得，则，
由(Ⅱ)切线AM的方程为过点M（x₀，m），
得，
同理，
消去x₀，得，
∵，由上，
∴，即m的值为-1。