Question

如图，以原点O为顶点，以y轴为对称轴的抛物线E的焦点为F（0，1），点M是直线l：y=m（m＜0）上任意一点，过点M引抛物线E的两条切线分别交x轴于点S，T，切点分别为B，A．
（I）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）求证：点S，T在以FM为直径的圆上；
（Ⅲ）当点M在直线l上移动时，直线AB恒过焦点F，求m的值．

Answer 1

分析：（1）设抛物线方程为x²=2py，根据焦点坐标可得到

p

2

=1，进而得到p的值，从而确定抛物线的方程．
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），然后对抛物线方程进行求导，表示出切线AM的斜率进而得到切线方程，然后令y=0可求出T的坐标进而得到直线FT的斜率，根据k_AM•k_FT=-1可验证点T在以FM为直径的圆上；同理可证点S在以FM为直径的圆上．
（3）根据抛物线的焦点坐标，设斜率为k可得到直线AB的方程，然后与抛物线方程联立消去y，得到关于x的一元二次方程，进而可得到两根之积等于-4，设点M（x₀，m），切线AM、BM的方程过点M可得到可消去x₀，再由x₁x₂=-4可得m的值．

解答：解：（I）设抛物线E的方程为x²=2py（p＞0），
依题意

p

2

=1，解得p=2，
所以抛物线E的方程为x²=4y．
（Ⅱ）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．x₁x₂≠0，否则切线不过点M
∵y=

1

4

x2，y′=

1

2

x，∴切线AM的斜率kAM=

1

2

x1，
方程为y-y1=

1

2

x1(x-x1)，其中y1=

x 2 1

4

.
令y=0，得x=

1

2

x1，点T的坐标为(

1

2

x1，0)，
∴直线FT的斜率kFT=-

2

x1

，
∵kAM•kFT=

1

2

x1•(-

2

x1

)=-1，
∴AM⊥FT，即点T在以FM为直径的圆上；
同理可证点S在以FM为直径的圆上，
所以S，T在以FM为直径的圆上．
（Ⅲ）抛物线x²=4y焦点F（0，1），可设直线AB：y=kx+1．
由

y= 1 4 x2 y=kx+1

得x2-4kx-4=0，
则x₁x₂=-4．
由（Ⅱ）切线AM的方程为y=

1

2

x1x-

1

4

x

2 1

过点M（x₀，m），
得m=

1

2

x1x0-

1

4

x

2 1

，
同理m=

1

2

x2x0-

1

4

x

2 2

.
消去x₀，得m(x1-x2)=

1

4

x1x2(x1-x2)
∵x₁≠x₂，由上x₁x₂=-4
∴m=

1

4

x1x2=-1，即m的值为-1．

点评：本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的联立问题．圆锥曲线经常作为压轴题出现，基础知识一定要熟练掌握才能做正确．