题目内容
（2010•江苏二模）如图是一块长方形区域ABCD，AD=2（km），AB=1（km）．在边AD的中点O处，有一个可转动的探照灯，其照射角∠EOF始终为| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
（1）当0≤α＜
| π |
| 2 |
（2）当0≤α≤
| π |
| 4 |
（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE自OA转到OC，再回到OA，称“一个来回”，忽略OE在OA及OC反向旋转时所用时间），且转动的角速度大小一定，设AB边上有一点G，且∠AOG=
| π |
| 6 |
分析：（1）过O作OH⊥BC，H为垂足，讨论α的范围，当0≤α≤
时，E在边AB上，F在线段BH上，根据S=S正方形OABH-S△OAE-S△OHF，当
＜α＜
时，E在线段BH上，F在线段CH上，S=S△OEF．
（2）当0≤α≤
时，利用基本不等式求出S的最大值，注意等号成立的条件；
（3）在“一个来回”中，求出OE共转动的角度，其中点G被照到时，共转的角度，从而可求出“一个来回”中，点G被照到的时间．
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
（2）当0≤α≤
| π |
| 4 |
（3）在“一个来回”中，求出OE共转动的角度，其中点G被照到时，共转的角度，从而可求出“一个来回”中，点G被照到的时间．
解答：
解：（1）过O作OH⊥BC，H为垂足．
①当0≤α≤
时，
E在边AB上，F在线段BH上（如图①），
此时，AE=tanα，FH=tan(
-α)，…（2分）
∴S=S正方形OABH-S△OAE-S△OHF
=1-
tanα-
tan(
-α)． …（4分）
②当
＜α＜
时，
E在线段BH上，F在线段CH上（如图②），
此时，EH=
，FH=
，…（6分）
∴EF=
+
．
∴S=S△OEF=
(
+
)．
综上所述，S=
…（8分）
（2）当0≤α≤
时，S=1-
tanα-
tan(
-α)，
即S=2-
(1+tanα+
)． …（10分）
∵0≤α≤
，∴0≤tanα≤1．即1≤1+tanα≤2．
∴1+tanα+
≥2
．
∴S≤2-
．
当tanα=
-1时，S取得最大值为2-
． …（12分）
（3）在“一个来回”中，OE共转了2×
=
．
其中点G被照到时，共转了2×
=
． …（14分）
则“一个来回”中，点G被照到的时间为9×
=2（分钟）．…（16分）
解：（1）过O作OH⊥BC，H为垂足．①当0≤α≤
| π |
| 4 |
E在边AB上，F在线段BH上（如图①），
此时，AE=tanα，FH=tan(
| π |
| 4 |
∴S=S正方形OABH-S△OAE-S△OHF
=1-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 4 |
②当
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
E在线段BH上，F在线段CH上（如图②），
此时，EH=
| 1 |
| tanα |
| 1 | ||
tan(
|
∴EF=
| 1 |
| tanα |
| 1 | ||
tan(
|
∴S=S△OEF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| tanα |
| 1 | ||
tan(
|
综上所述，S=
|
（2）当0≤α≤
| π |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 4 |
即S=2-
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 1+tanα |
∵0≤α≤
| π |
| 4 |
∴1+tanα+
| 2 |
| 1+tanα |
| 2 |
∴S≤2-
| 2 |
当tanα=
| 2 |
| 2 |
（3）在“一个来回”中，OE共转了2×
| 3π |
| 4 |
| 3π |
| 2 |
其中点G被照到时，共转了2×
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
则“一个来回”中，点G被照到的时间为9×
| ||
|
点评：本题主要考查了解三角形在实际问题中的应用，同时考查了利用基本不等式求最值问题，属于中档题．
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