Question

【题目】在五面体中， , , ，平面平面.

(1)证明:直线平面；

(2)已知为棱上的点，试确定点位置，使二面角的大小为.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）点在靠近点的的三等分点处.

【解析】试题分析：（1）证明一条直线垂直一个平面，只需要证明这两个平面垂直，直线垂直两个平面的交线即可，先证明， 平面平面，平面平面，即可得到直线平面；（2）根据题意，取的中点，证明两两垂直，以为原点， 的方向为轴，建立空间直角坐标系，由二面角的大小为，根据空间向量夹角余弦公式列方程即可确定在棱上的位置.

试题解析：（1）四边形为菱形， ， 平面平面，平面平面平面，又直线平面.

(2) ， 为正三角形，取的中点，连接，则， 平面平面平面，平面平面平面两两垂直，以为原点， 的方向为轴，建立空间直角坐标系， ， ，由（1）知是平面的法向量， ，设，则，设平面的法向量为， ，令，则， ， 二面角为， ，解得， 在靠近点的三等分处.

【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.