题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）讨论f（x）的单调性及极值；
（2）设 $数学公式$ ．

解：（1）由 $\text{[math]}$
①当a≤0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值；
②当a＞0时，若0＜x＜a，f^′（x）＜0，故函数f（x）在（0，a）上单调递减，
若x＞a，f′（x）＞0，故f（x）在（a，+∞）上单调递增，
所以极小值f（a）=1+lna，无极大值．
（2）证明：不妨设x₁≥x₂，而0＜a $\text{[math]}$ ，由（1）知f（x）在（0， $\text{[math]}$ ）的单调递减，
故对任意 $\text{[math]}$ ，|f（x₁）-f（x₂）|≥a|x₁-x₂|等价于：
$\text{[math]}$
即f（x₁）+ax₁≤f（x₂）+ax₂
令g（x）=f（x）+ax，则 $\text{[math]}$ ，
令h（x）=ax²+x-a，∵0＜a $\text{[math]}$ ，
∴h（0）=-a＜0， $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ，故g（x）在（0， $\text{[math]}$ ）上单调递减，
又由x₁≥x₂，∴g（x₂）≥g（x₁），即f（x₂）+ax₂≥f（x₁）+ax₁∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）借助于导数，讨论参数，得到函数的单调区间和极值；
（2）借助于（1）的单调区间可知函数在（0， $\text{[math]}$ ）的单调性，构建新函数，再借助其导数，判断新函数的单调性，即得证．
点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．