Question

设a＞0,

(1)求证：f(x)=取得极大值和极小值的点各有1个;

(2)当极大值为1,极小值为-1时,求a和b的值.

Answer 1

(1)证明:f′(x)=

令f′(x)=0,即ax²+2bx-a=0.                                                     ①

∵Δ=4b²+4a²＞0,∴方程①有两个不相等的实根,记为x₁、x₂.

不妨设x₁＜x₂,则有(1+x²)²f′(x)=a(x-x₁)(x-x₂),且a＞0,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:

X	(-∞,x1)	x1	(x1,x2)	x2	(x2,+∞)
f′(x)	-	0	+	0	-
f(x)		极小值		极大值

 

由上表可见,f(x)取得极大值和极小值的点各有1个.

(2)解：由(1)可知两式相加,得x₂²-x₁²=a(x₁+x₂)+2b.

又x₁+x₂=-,代入上式,

得x₂²-x₁²=a(-)+2b=0,

∴x₂²-x₁²=0,即(x₂-x₁)(x₂+x₁)=0.

而x₁＜x₂,∴x₁+x₂=0.∴b=0.代入①式,得a(x²-1)=0.

∵a＞0,∴x=±1.再代入f(x₁)或f（x₂）,得a=2.