Question

1．（1）如图，G是△ABC的重心，求证：$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$．
（2）在△ABC中，若$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，求证：G是△ABC的重心．

Answer 1

分析 （1）由重心性质，得$\overrightarrow{GA}$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}）$，$\overrightarrow{GB}$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}$），$\overrightarrow{GC}$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}）$，由此能证明$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$．
（2）以$\overrightarrow{GA}，\overrightarrow{GB}$为边作平等四边形AGBE，从而得到$\overrightarrow{GE}=-\overrightarrow{GC}$是公共点，进而得到CG是AB边上的中线，由此能证明G是△ABC的重心．

解答 证明：（1）∵G是△ABC的重心，
∴$\overrightarrow{GA}$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}）$，
$\overrightarrow{GB}$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}$），
$\overrightarrow{GC}$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}）$，
∴$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}）$+$\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}$）+$\frac{1}{3}（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}）$=$\overrightarrow{0}$．
∴$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$．
（2）∵$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，∴$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}$=-$\overrightarrow{GC}$，
以$\overrightarrow{GA}，\overrightarrow{GB}$为边作平等四边形AGBE，则$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}$=$\overrightarrow{GE}$，
∴$\overrightarrow{GE}=-\overrightarrow{GC}$是公共点，∴E，G，C三点共线，
又∵GE是平行四边形AGBE的对角线，EG和AB的交点是AB的中点，
即CG是AB边上的中线，
同理AG是BC边上的中线，BG是AC边上的中线，
∴G是△ABC的重心．

点评 本题考查重心性质及三角形重心的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意重心性质的合理运用．