Question

【题目】已知函数.

（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；

（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2）

【解析】

(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.

(2)首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.

(1)当时，，，

由于，故单调递增，注意到，故：

当时，单调递减，

当时，单调递增.

(2)由得，，其中，

①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；

②.当时，分离参数a得，，

记，，

令，

则，，

故单调递增，，

故函数单调递增，，

由可得：恒成立，

故当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

因此，,

综上可得，实数a的取值范围是.