Question

设数列{a_n} 的前n项和S_n=n²，数列{b_n} 满足bn=

an

an+m

(m∈N*)．
（Ⅰ）若b₁，b₂，b₈ 成等比数列，试求m 的值；
（Ⅱ）是否存在m，使得数列{b_n} 中存在某项b_t 满足b₁，b₄，b_t（t∈N^*，t≥5）成等差数列？若存在，请指出符合题意的m
的个数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用当n≥2 时，a_n=S_n-S_n-1求出数列{a_n} 的通项公式，代入bn=

an

an+m

(m∈N*)，求出数列{b_n} 的通项公式，再结合b₁，b₂，b₈ 成等比数列即可求m 的值；
（Ⅱ）先假设存在m 使得b₁，b₄，b_t（t∈N^*，t≥5）成等差数列，即2b₄=b₁+b_t，代入整理得t=7+

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m-5

，再结合t∈N^*，t≥5即可求出符合题意的m 的个数．

解答：解：（Ⅰ）因为S_n=n²，所以当n≥2 时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1 …（3分）
又当n=1 时，a₁=S₁=1，适合上式，所以a_n=2n-1 （n∈N^* ）…（4分）
所以bn=

2n-1

2n-1+m

 
则b1=

1

1+m

，b2=

3

3+m

，b8=

15

15+m

 
由b₂²=b₁b₈，
得(

3

3+m

)2=

1

1+m

×

15

15+m

 
解得m=0 （舍）或m=9 
所以m=9 …（7分）
（Ⅱ）假设存在m 
使得b₁，b₄，b_t（t∈N^*，t≥5）成等差数列，即2b₄=b₁+b_t，
则2×

7

7+m

=

1

1+m

+

2t-1

2t-1+m

 
化简得t=7+

36

m-5

 …（12分）
所以当m-5=1，2，3，4，6，9，12，18，36 时，
分别存在t=43，25，19，16，13，11，10，9，8 适合题意，
即存在这样m，且符合题意的m 共有9个 …（14分）

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的综合问题．解决本题的关键在于利用已知前n项和求通项的方法求出数列{a_n} 的通项公式．