Question

（本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱⊥底面，，是的中点，作交于点

(1) 证明//平面；

(2) 证明⊥平面；

(3) 求二面角——的大小。

 

Answer 1

【答案】

（1）证明：见解析；（2）证明：见解析；（3）二面角——的大小为  

【解析】

试题分析：（1）连结，交于O，连结

  ∵底面是正方形，∴点O是的中点

  在中，是中位线，∴ // ， 得到证明。

（2）∵⊥底面且底面，

∴∵，可知是等腰直角三角形，而是斜边的中线，

∴   推理得到平面

又且，所以⊥平面  （3）由（2）知，，

故是二面角——的平面角 

解：（1）证明：连结，交于O，连结

  ∵底面是正方形，∴点O是的中点

  在中，是中位线，∴ //       …（1分）

  而平面EDB且平面，

  所以， // 平面                      …（3分）

（2）证明：∵⊥底面且底面，

∴

∵，可知是等腰直角三角形，而是斜边的中线，

∴    ①                                           …（4分）

同样由⊥底面，得⊥

∵底面是正方形，有DC⊥，∴⊥平面       …（5分）

而平面，∴    ②

由①和②推得平面

而平面，∴                             …（7分）

又且，所以⊥平面            …（8分）

（3）解：由（2）知，，

故是二面角——的平面角                       …（9分）

由（2）知，

设正方形ABCD的边长为则

， ，

在中，

在中，，                …（11分）

∴   所以，二面角——的大小为        …（12分）

（说明：也可用向量法）

考点：本题主要是考查线面平行和线面垂直的判定定理，以及二面角的平面角的求解问题。

点评：解决该试题的关键是利用线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理来得到证明，以及三垂线定理求解二面角的平面角。