Question

（本小题满分12分）

已知数列的前n项和为 (n∈N*)，且．数列满足，，，n＝2，3，…．

（Ⅰ）求数列  的通项公式；

（Ⅱ）求数列  的通项公式；

（Ⅲ）证明：对于 ，．

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）因为 2S_n＝（n＋1）a_n，

所以 2S_n＋1＝（n＋2）a_n＋1．

两式相减得 2a_n＋1＝（n＋2）a_n＋1－（n＋1）a_n，即 ． …………… 2分

当n≥2时，＝＝．

又a₁＝2满足上式，故 ＝2n（n∈N*）．   …………………………………… 4分

（Ⅱ）因为 ＝（n≥2），b＝0，b＝2，

故当n≥3时，有 ＝b＝2，

所以 ＝（n－1）（n≥3）．   ……………………………………………… 8分

显然 b＝0，b＝2 满足上式，

故 {} 的通项公式为 ＝（n－1）． …………………………………… 10分

（Ⅲ）

当k≥2时，．

故     …………………………………………………… 11分

注意到 b₁＝0，

则 （n∈N*）．… 12分

 

【解析】略