Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点，E为BC的中点．
（1）求证：BD⊥平面AB₁E；
（2）求直线AB₁与平面BB₁C₁C所成角的正弦值；
（3）求三棱锥C-ABD的体积．

Answer 1

分析：（1）正方形BB₁C₁C中，由Rt△BB₁E≌Rt△CBD证出B₁E⊥BD，由面面垂直的性质定理证出AE⊥平面BB₁C₁C，可得AE⊥BD，再由线面垂直判定定理即可证出BD⊥平面AB₁E；
（2）由AE⊥平面BB₁C₁C，可得∠AB₁E是直线AB₁与平面BB₁C₁C所成角．Rt△AB₁E中，算出AE、AB₁的长度，利用三角函数的定义算出sin∠AB₁E=

6

4

，即得直线AB₁与平面BB₁C₁C所成角的正弦值；
（3）算出S_△BCD=

1

4

S BB1C1C=1，而AE⊥平面BCD，得三棱锥A-BCD的体积V_A-BCD=

1

3

S_△BCD•AE=

3

3

，从而可得三棱锥C-ABD的体积．

解答：解：（1）∵正方形BB₁C₁C中，D为CC₁中点，E为BC的中点
∴Rt△BB₁E≌Rt△CBD，可得∠CBD=∠BB₁E=90°-∠BEB₁
因此∠BEB₁+∠CBD=90°，可得B₁E⊥BD
∵平面ABC⊥平面BB₁C₁C，平面ABC∩平面BB₁C₁C=BC，
正三角形ABC中，AE⊥BC
∴AE⊥平面BB₁C₁C，结合BD?平面BB₁C₁C，得AE⊥BD
∵AE、B₁E是平面AB₁E内的相交直线，∴BD⊥平面AB₁E；
（2）∵AE⊥平面BB₁C₁C，
∴BE是AB₁在平面BB₁C₁C内的射影，可得∠AB₁E是直线AB₁与平面BB₁C₁C所成角
∵正△ABC中，AE=

3

2

AB=

3

，正方形AA₁B₁B中，对角线AB₁=

2

AB=2

2

∴Rt△AB₁E中，sin∠AB₁E=

AE

AB1

=

6

4

即直线AB₁与平面BB₁C₁C所成角的正弦值等于

6

4

；
（3）由前面的计算，可得S_△BCD=

1

4

S BB1C1C=1
∵AE⊥平面BB₁C₁C，即AE⊥平面BCD
∴三棱锥A-BCD的体积V_A-BCD=

1

3

S_△BCD•AE=

1

3

×1×

3

=

3

3

三棱锥C-ABD的体积为V_C-ABD=V_A-BCD=

3

3

．

点评：本题给出特殊正三棱柱，求证线面垂直并求直线与平面所成角和锥体的体积．着重考查了正棱柱的性质、线面垂直的判定与性质、直线与平面所成角的求法和锥体的体积公式等知识，属于中档题．