Question

直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则b的取值范围是________．

Answer 1

-3＜b≤3或
分析：先整理C的方程可知曲线C的图象为半圆，要满足仅有一个公共点，有两种情况，一种是与半圆相切，根据原点到直线的距离为半径3求得b，一种是与半圆相交但只有一个交点，根据图象可分别求得b的上限和下限，最后综合可求得b的范围．
解答：解：依题意可知曲线C的方程可整理成y²+x²=9（x≥0）
要使直线l与曲线c仅有一个公共点，有两种情况：如下图：
（1）直线与半圆相切，原点到直线的距离为3，切于A点，d==3，因为b＜0，可得b=-3，满足题意；
（2）直线过半圆的下顶点（0，-3）和过半圆的上顶点（3，0）之间的直线都满足，
y=x+b过点（0，-3），可得b=-3，有两个交点，
y=x+b过点（0，3），可得b=3，有一个交点，
∴-3＜b＜3，此时直线y=x+b与曲线恰有一个公共点；
综上：-3＜b≤3或；
故答案为：-3＜b≤3或；
点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了学生对数形结合思想，分类讨论思想，转化和化归的思想的综合运用，是一道好题；