Question

已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍，焦距为.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设不过原点的直线与椭圆交于两点、，且直线、、的斜率依次成等比数列，求△面积的取值范围.

 

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）（0,1）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据条件，可计算出a,b，代入即可得到椭圆方程；

（Ⅱ）联立椭圆和直线方程，消元，得到关于x的一元二次方程，

得：

又直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列，得到

联立两个式子，构造关系式，得到

设原点O到直线l的距离为d,则

根据得，

从而可得△OMN面积的取值范围为（0,1）.

试题解析：（Ⅰ）由已知得，

所以C方程：.

（Ⅱ）由题意可设直线l的方程为：y=kx+m(k≠0,m≠0)

联立，消去y并整理，

得：，

则，

此时设M(，),N(，),

,

于是，

又直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列，

∴，

所以，

由m≠0,得，

又由得，

显然，

设原点O到直线l的距离为d,则

，

故由m得取值范围可得△OMN面积的取值范围为（0,1）.

考点：直线与椭圆相交的综合试题.