Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，且AB=1，AD=CD=2，E在线段PD上．
（Ⅰ）若E是PD的中点，试证明：AE∥平面PBC；
（Ⅱ）若异面直线BC与PD所成的角为60°，求四棱锥P-ABCD的侧视图的面积．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）证法一：利用线面平行的判定定理证明，在四棱锥P-ABCD中，取PC的中点F，连接EF、FB，只需证明四边形AEFB是平行四边形，可得AE∥FB；
证法二：建立空间直角坐标系，设PB=t，确定平面PBC的法向量=（2，-1，0），证明=0即可；
（Ⅱ）求得||=，||=，利用异面直线BC与PD成60°角，结合向量数量积公式，可求PB，从而可得侧视图的面积．
解答：（Ⅰ）证法一：在四棱锥P-ABCD中，取PC的中点F，连接EF、FB，
因为E是PD的中点，所以EFCDAB，…（2分）
所以四边形AEFB是平行四边形，…（3分）
则AE∥FB，
而AE?平面PBC，FB?平面PBC，…（5分）
∴AE∥平面PBC． …（6分）
证法二：如图，以B为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
设PB=t，则P（0，0，t），D（-1，2，0），C（1，2，0），A（-1，0，0），
所以E（-，1，），，…（2分）
设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，所以，即
取y=-1，得到平面PBC的法向量为=（2，-1，0）．
所以=0，而AE?平面PBC，则AE∥平面PBC．…（6分）
（Ⅱ）解：同（Ⅰ）法二建立空间直角坐标系，
设PB=t（t＞0），则P（0，0，t），D（-1，2，0），C（1，2，0），
所以=（-1，2，-t），=（1，2，0），
则||=，||=，…（9分）
由已知异面直线BC与PD成60°角，所以•==，
又•=-1×1+2×2+（-t）×0=3，
所以=3，解得t=，即PB=，
所以侧视图的面积为S=×2×=．…（13分）
点评：本题考查线面平行，考查异面直线所成角，考查利用空间向量解决立体几何问题，属于中档题．