Question

已知函数f（x）=+alnx，g（x）=（a+1）x（a≠-1），H（x）=f（x）-g（x）．
（1）若函数f（x）、g（x）在区间[1，2]上都为单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；
（2）α、β是函数H（x）的两个极值点，α＜β，β∈（1，e]（e=2.71828…）．求证：对任意的x₁、x₂∈[α，β]，不等式|H（x₁）-H（x₂）|＜1成立．

Answer 1

【答案】分析：（1），，（由f（x），g（x）在区间[1，2]上都为单调函数，且它们的单调性相同，知，由（a+1）（a+x²）≥0，a≤-x²，（-x²）_min=-4，能导出实数a的取值范围．
（2）由=，知x=1或x=a，由x²-（a+1）x+a=0有两个不相等的正根α，β，且α＜β，β∈（1，e]，知α=1，β=a∈（1，e]，由此能得到不等式|H（x₁）-H（x₂）|＜1对任意的x₁，x₂∈[α，β]成立．
解答：解：（1），
，
∵f（x），g（x）在区间[1，2]上都为单调函数，且它们的单调性相同，
∴，
∵x∈[1，2]，∴（a+1）（a+x²）≥0，
-x²≤-1，∴a≤-x²或a＞-1（a≠-1），又（-x²）_min=-4，
∴a≤-4或a＞-1．
（2）∵=⇒x=1或x=a，
又∵x²-（a+1）x+a=0有两个不相等的正根α，β，且α＜β，β∈（1，e]，
∴α=1，β=a∈（1，e]，∴当x∈[α，β]时，H′（x）≤0，
∴H（x）在[α，β]上单调单调递减，
∴H（x）_max=H（1），H（x）_min=H（β），
则对任意的x₁，x₂∈[α，β]，
|H（x₁）-H（x₂）|
=．
设f（a）=，则t′（a）=a-1-lna，
∵当a∈（1，e]时，，∴t′（a）在（1，e]单调递增，
∴t′（a）＞t′（1）=0，∴t（a）也在（1，e]单调递增，
∴，
∴不等式|H（x₁）-H（x₂）|＜1对任意的x₁，x₂∈[α，β]成立．
点评：本题考查导数在求函数单调性中的运用，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用．