Question

    已知函数.

    （I）求函数的最大值；

    （Ⅱ）设  ,证明:＜1.

Answer 1

解：

（Ⅰ）f¢(x)＝－xe^x．

当x∈(－∞，0)时，f¢(x)＞0，f(x)单调递增；

当x∈(0，＋∞)时，f¢(x)＜0，f(x)单调递减．

所以f(x)的最大值为f(0)＝0．                                                                     

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x＞0时，f(x)＜0，g(x)＜0＜1．                         

当－1＜x＜0时，g(x)＜1等价于设f(x)＞x．

设h(x)＝f(x)－x，则h¢(x)＝－xe^x－1．

当x∈(－1，－0)时，0＜－x＜1，0＜e^x＜1，则0＜－xe^x＜1，

从而当x∈(－1，0)时，h¢(x)＜0，h(x)在(－1，0]单调递减．

当－1＜x＜0时，h(x)＞h(0)＝0，即g(x)＜1．

综上，总有g(x)＜1．