定义:对函数y＝f(x).对给定的正整数k.若在其定义域内存在实数x0.使得f(x0+k)＝f(x0)+f为“k性质函数． (1)判断函数是否为“k性质函数 ?说明理由, (2)若函数为“2性质函数 .求实数a的取值范围, (3)已知函数y＝2x与y＝-x的图像有公共点.求证:f(x)＝2x+x2为“1性质函数．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

定义：对函数y＝f(x)，对给定的正整数k，若在其定义域内存在实数x₀，使得f(x₀＋k)＝f(x₀)＋f(k)，则称函数f(x)为“k性质函数”．

(1)判断函数是否为“k性质函数”？说明理由；

(2)若函数为“2性质函数”，求实数a的取值范围；

(3)已知函数y＝2^x与y＝－x的图像有公共点，求证：f(x)＝2^x＋x²为“1性质函数”．

答案：

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设y＝f(x)是定义在R上的函数，如果存在A点，对函数y＝f(x)的图像上任意点P，P关于点A的对称点Q也在函数y＝f(x)的图像上，则称函数y＝f(x)关于点A对称，A称为函数f(x)的一个对称点．对于定义在R上的函数f(x)，可以证明点A(a，b)是f(x)图像的一个对称点的充要条件是f(a－x)＋f(a＋x)＝2b，x∈R．

(1)求函数f(x)＝x³＋3x²图像的一个对称点；

(2)函数

(1)求函数f(x)＝x³＋3x²图像的一个对称点；

(2)函数g(x)＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图像是否有对称点？若存在则求之，否则说明理由．

已知函数f(x)＝ax－lnx＋1(a∈R)，g(x)＝xe^1－x．

(Ⅰ)求函数g(x)在区间(0，e]上的值域；

(Ⅱ)是否存在实数a，对任意给定的x₀∈(0，e]，在区间[1，e]上都存在两个不同的x_i(i＝1，2)，使得f(x_i)＝g(x₀)成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；

(Ⅲ)给出如下定义：对于函数y＝F(x)图象上任意不同的两点A(x₁，y₁)，B(x₂，my₂)，如果对于函数y＝F(x)图象上的点M(x₀，y₀)(其中总能使得F(x₁)－f(x₂)＝(x₀)(x₁－x₂)成立，则称函数具备性质“L”，试判断函数f(x)是不是具备性质“L”，并说明理由．

定义：对函数y＝f(x)，对给定的正整数k，若在其定义域内存在实数x₀，使得f(x₀＋k)＝f(x₀)＋f(k)，则称函数f(x)为“k性质函数”．

(1)若函数f(x)＝2^x为“1性质函数”，求x₀；

(2)判断函数是否为“k性质函数”？说明理由；

(3)若函数为“2性质函数”，求实数a的取值范围；

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