Question

已知函数f（x）=x+，h（x）=．
（Ⅰ）设函数F（x）=18f（x）-x²[h（x）]²，求F（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）设a∈R，解关于x的方程lg[f（x-1）-]=2lgh（a-x）-2lgh（4-x）；
（Ⅲ）设n∈Nⁿ，证明：f（n）h（n）-[h（1）+h（2）+…+h（n）]≥．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）首先求出F（x）的解析式，求导，令导数大于0和小于0，分别求出单调增区间和减区间，从而可求极值．
（Ⅱ）将方程转化为lg（x-1）+2lg=2lg，利用对数的运算法则，注意到真数大于0，转化为等价的不等式，分离参数a，求解即可．
（Ⅲ）由已知得h（1）+h（2）+…+h（n）=
故原不等式转化为f（n）h（n）-=≥
注意到等式右侧为数列{b_n}：b_n=和的形式，将等式的左侧也看作一个数列的前n项和的形式，
求出通项．问题转化为证明项＞项的问题．可用做差法直接求解．
解答：解：（Ⅰ）F（x）=18f（x）-x²[h（x）]²=-x³+12x+9（x≥0）
所以F′（x）=-3x²+12=0，x=±2
且x∈（0，2）时，F′（x）＞0，当x∈（2，+∞）时，F′（x）＜0
所以F（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减．
故x=2时，F（x）有极大值，且F（2）=-8+24+9=25
（Ⅱ）原方程变形为lg（x-1）+2lg=2lg
??
（1）当1＜a＜4时，原方程有一解x=3-
（2）当4＜a＜5时，原方程有两解x=3±
（3）当a=5时，原方程有一解x=3
（4）当a≤1或a＞5时，原方程无解．
（Ⅲ）由已知得h（1）+h（2）+…+h（n）=
f（n）h（n）-=
从而a₁=s₁=1
当k≥2时，a_n=s_n-s_n-1=
又=
=
=＞0
即对任意的k≥2，有
又因为a₁=1=
所以a₁+a₂+…+a_n≥
则s_n≥h（1）+h（2）+…+h（n），故原不等式成立．
点评：本题考查求函数的单调区间、极值、方程解的个数问题、不等式证明问题，综合性强，难度较大．