题目内容
已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2（n∈N*），a1=1（1）设bn=an+1-2an（n∈N*），求证：{bn}是等比数列，并求出它的通项公式．
（2）设Cn=
| an | 2n |
分析：（1）由Sn+1=4an+2可得：Sn=4an-1+2两式作差得：构造an+1-2an从而得证；
（2）由（1）知：an+1-2an=3×2n-1两边同除以2n+1构造
得证．
（2）由（1）知：an+1-2an=3×2n-1两边同除以2n+1构造
| an |
| 2n |
解答：解：（1）当n≥2时
由Sn+1=4an+2可得：
Sn=4an-1+2
两式作差得：
an+1=4an-4an-1
可转化为：
an+1-2an=2（an-2an-1）
又a3-2a2=2（a2-2a1）
∴bn=an+1-2an（n∈N*），{bn}是等比数列
bn=3×2n-1
（2）由（1）知：an+1-2an=3×2n-1
两边同除以2n+1得：
-
=
∴{cn}是等差数列
Cn=
=
+
(n-1)
由Sn+1=4an+2可得：
Sn=4an-1+2
两式作差得：
an+1=4an-4an-1
可转化为：
an+1-2an=2（an-2an-1）
又a3-2a2=2（a2-2a1）
∴bn=an+1-2an（n∈N*），{bn}是等比数列
bn=3×2n-1
（2）由（1）知：an+1-2an=3×2n-1
两边同除以2n+1得：
| an+1 |
| 2n+1 |
| an |
| 2n |
| 3 |
| 4 |
∴{cn}是等差数列
Cn=
| an |
| 2n |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
点评：本题主要通过通项和前n项和来考查把一般数列通过构造转化为特殊数列的能力．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}中，a1=1，2nan+1=（n+1）an，则数列{an}的通项公式为（ ）
A、
| ||
B、
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C、
| ||
D、
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