题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；
（2）当 $数学公式$ 时，求f（x）的值域．

解：（1）∵f（x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），
∴其最小正周期T= $\text{[math]}$ =π；
∴由2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ 得kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ （k∈Z），
∴函数的增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]（k∈Z），
（2）∵x∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，
∴2x+ $\text{[math]}$ ∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，
∴-1≤sin（2x+ $\text{[math]}$ ）＜ $\text{[math]}$ ．
∴-2≤2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）＜ $\text{[math]}$ ．
∴x∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]时f（x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）的值域为[-2， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）由正弦函数的周期公式T= $\text{[math]}$ （ω＞0）可求函数f（x）的最小正周期，由2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ 即可求得其单调增区间；
（2）当x∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]时，可求得2x+ $\text{[math]}$ ∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，继而可求得f（x）的值域．
点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，考查复合三角函数的单调性，考查正弦函数的定义域和值域，考查三角函数的综合应用，属于中档题．