Question

已知函数f(x)=ax3+

1

2

x2+2x在x=-1处取得极值．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，可知f′（-1）=0，列出方程求解，即可得到a的值；
（2）令导函数f′（x）=0，求出方程的根，利用导数判断根左右的单调性，再根据极值的定义，即可求得函数f（x）的极值．

解答：解：（1）∵函数f(x)=ax3+

1

2

x2+2x，
∴f′（x）=3ax²+x+2，
∵函数f(x)=ax3+

1

2

x2+2x在x=-1处取得极值，
∴f′（-1）=0，
∴3a-1+2=0，
∴a=-

1

3

；
（2）由（1）可得，f(x)=-

1

3

x3+

1

2

x2+2x，
∴f′（x）=-x²+x+2，
令f′（x）=0，解得x=-1或x=2，
当x＜-1时，f′（x）＜0，则f（x）在（-∞，-1）上单调递减，
当-1＜x＜2时，f′（x）＞0，则f（x）在（-1，2）上单调递增，
当x＞2时，f′（x）＜0，则f（x）在（2，+∞）上单调递减，
∴当x=-1时，f（x）有极小值为f(-1)=-

7

6

，
当x=2时，f（x）有极大值为f(2)=

10

3

，
∴函数f（x）的极小值为-

7

6

，极大值为

10

3

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的极值，解题时要注意运用极值点必定是导函数对应方程的根，而导函数对应方程的根不一定是极值点．利用导数求函数极值的步骤是：先求导函数，令导函数等于0，求出方程的根，确定函数在方程的根左右的单调性，根据极值的定义，确定极值点和极值．过程中要注意运用导数确定函数的单调性，一般导数的正负对应着函数的单调性．属于中档题．