Question

如图，已知椭圆长轴端点A、B，弦EF与AB交于点D，O为中心，且||=1，=2，∠FDO=，试建立适当的坐标系解决以下问题：
（1）求椭圆的长轴长的取值范围；
（2）若D为椭圆的焦点，求椭圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立如图平面直角坐标系，则D（-1，0）弦EF所在的直线方程为y=x+1，设椭圆方程，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用长轴的表示的函数式即可求得范围，从而解决问题．
（2）利用D为椭圆的焦点，则c=1，b²=a²-1结合（1）知：∴a²=9-a²  从而求出a，b的值，最后写出椭圆方程即可．
解答：解：（1）如图，建立平面直角坐标系，则D（-1，0）弦EF所在的直线方程为y=x+1
设椭圆方程设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
由=2，知：y₁+y₂=-y₁，且y₁y₂=-2y₁² 联立方程组，
消去x得：（a²+b²）y²-2b²y+b²-a²b²=0
由题意知：a＞1，∴△=4b⁴=4（a²+b²）（b²-a²b²）＞0
由韦达定理知：y₁+y₂==-y₁，y₁y₂==-2y₁²，
消去y₁得化简整理得：b₂=∵0＜b²＜a²，∴0＜＜a²解得：
1＜a²＜5
∴2＜2a＜2  即：椭圆的长轴长的取值范围为（2，2）．
（2）若D为椭圆的焦点，则c=1，b²=a²-1   
由（1）知：b²==a²-1，
∴a²=9-a²∴a²=，b²=∴椭圆方程为：．
点评：本题以椭圆为载体，考查直线与椭圆的位置关系，关键是直线与椭圆方程的联立，利用韦达定理可解．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，注意合理地进行等价转化．