Question

已知 是等差数列，是公比为的等比数列，，记为数列的前项和，
（1）若是大于的正整数，求证：；
（2）若是某一正整数，求证：是整数，且数列中每一项都是数列中的项；
（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；

Answer 1

（1）
（2）存在使得中有三项成等差数列。

试题分析：设的公差为，由，知，（）
（1）因为，所以，
，
所以
（2），由，
所以解得，或，但，所以，因为是正整数，所以是整数，即是整数，设数列中任意一项为
，设数列中的某一项=
现在只要证明存在正整数，使得，即在方程中有正整数解即可，，所以
，若，则，那么，当时，因为，只要考虑的情况，因为，所以，因此是正整数，所以是正整数，因此数列中任意一项为
与数列的第项相等，从而结论成立。
（3）设数列中有三项成等差数列，则有
2设，所以2，令，则，因为，所以，所以，即存在使得中有三项成等差数列。
点评：难题，等比数列、等差数列相关内容，已是高考必考内容，其难度飘忽不定，有时突出考查求和问题，如“分组求和法”、“裂项相消法”、“错位相减法”等，有时则突出涉及数列的证明题，如本题，突出考查学生的逻辑思维能力。本题解法中，注意通过构造“一般项”加以研究，带有普遍性。