Question

如果数列{a_n}满足a₁=2，a₂=1，且

anan-1

an-1-an

=

anan+1

an-an+1

（n≥2），则a₁₀₀=（　　）

• A．

  1

  2100

• B．

  1

  299

• C．

  1

  100

• D．

  1

  50

Answer 1

分析：要求a₁₀₀，只要根据已知递推公式求出通项即可，而由

anan-1

an-1-an

=

anan+1

an-an+1

整理可得

an

an-1

+

an

an+1

=2，结合a₁=2，a₂=1可求a_n，从而可求

解答：解：∵

anan-1

an-1-an

=

anan+1

an-an+1

∴

an

an-1

+

an

an+1

=2
∵a₁=2，a₂=1
∴

1

an-1

+

1

an+1

=

2

an

，

1

a1

=

1

2

，

1

a2

-

1

a1

=

1

2

{

1

an

}是等差数列，首项为

1

2

，公差为

1

2

∴

1

an

+ =

1

2

+

1

2

(n-1)=

1

2

n
∴an=

2

n

∴a100=

2

100

=

1

50

故选：D

点评：本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的通项公式，解题中用到了等差中项判断等差数列的方法：即由

1

an-1

+

1

an+1

=

2

an

可得{

1

an

}是等差数列