Question

如果数列{a_n}满足a₁=2，a₂=1，且

an• a   n-1

an-1-an

=

an•an+1

an-an+1

，则此数列的第10项为（　　）

• A．

  1

  210

• B．

  1

  29

• C．

  1

  10

• D．

  1

  5

Answer 1

分析：把已知的递推式取倒数，得到新数列{

1

an

-

1

an-1

}构成以

1

a2

-

1

a1

为首项，以1为公比的等比数列．求出该等比数列的通项后利用累加法可得数列{a_n}的第10项．

解答：解：由

an• a   n-1

an-1-an

=

an•an+1

an-an+1

，得

an-1-an

an•an-1

=

an-an+1

an•an+1

，
∴

1

an

-

1

an-1

=

1

an+1

-

1

an

，
即

1 an+1 - 1 an

1 an - 1 an-1

=1．
∴{

1

an

-

1

an-1

}构成以

1

a2

-

1

a1

为首项，以1为公比的等比数列．
∵a₁=2，a₂=1，∴

1

a2

-

1

a1

=1-

1

2

=

1

2

．
则

1

an

-

1

an-1

=

1

2

×1n=

1

2

．
∴

1

a2

-

1

a1

=

1

2

．

1

a3

-

1

a2

=

1

2

．
…

1

a10

-

1

a9

=

1

2

．
累加得：

1

a10

=

1

a1

+

9

2

=

1

2

+

9

2

=5．
∴a10=

1

5

．
故选：D．

点评：本题考查了数列递推式，考查了数列构造法，训练了累加法求数列的和，是中档题．