Question

已知函数在x=1处取得极值2，
(Ⅰ)求函数f(x)的表达式；
(Ⅱ)当m满足什么条件时，函数f(x)在区间(m，2m+1)上单调递增？
(Ⅲ)若P(x₀，y₀)为图象上任意一点，直线l与的图象切于点P，求直线l的斜率k的取值范围。

Answer 1

解：(Ⅰ)因为，
而函数在x=1处取得极值2，
所以，即，解得，
所以即为所求．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
令f′(x)=0，得x₁=-1，x₂=1，
则f(x)的增减性如下表：

可知，f(x)的单调增区间是[-1，1]，
所以，，
所以当m∈(-1，0]时，函数f(x)在区间(m，2m+1)上单调递增．
(Ⅲ)由条件知，过f(x)的图象上一点P的切线l的斜率k为：
，
令，则t∈(0，1]，
此时，，
根据二次函数的图象性质知：
当时，；当t=1时，k_max=4；
所以，直线l的斜率k的取值范围是。