题目内容

已知α、β都是锐角，且sinβ=sinαcos（α+β）．
（1）当α+β= $数学公式$ ，求tanβ的值；
（2）当tanβ取最大值时，求tan（α+β）的值．

解：（1）∵α+β= $\text{[math]}$ ，且sinβ=sinαcos（α+β）．
∴sinβ= $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ -β），整理得 $\text{[math]}$ sinβ- $\text{[math]}$ cosβ=0，
∵β为锐角，
∴tanβ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（2）由题意，得sinβ=sinαcosαcosβ-sin²αsinβ，
两边都除以cosβ，得tanβ=sinαcosα-sin²αtanβ，
∴tanβ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵α是锐角，∴2tanα+ $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$
因此，tanβ= $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
当且仅当 $\text{[math]}$ =2tanα时，取“=”号，
∴tanα= $\text{[math]}$ 时，tanβ取得最大值 $\text{[math]}$ ，
由此可得，tan（α+β）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）将α+β= $\text{[math]}$ 代入已知等式，并且以 $\text{[math]}$ -β代替α，化简整理可得β的正弦和余弦的关系，利用同角三角函数的商数关系，可得tanβ的值；
（2）用两角和的余弦公式将已知等式展开，再在两边都除以cosβ，得tanβ关于α的正弦和余弦的分式表达式，用同角三角函数的关系将此式化成并于tanα的表达式，最后用基本不等式求出tanβ取最大值，从而得到此时的tan（α+β）的值．
点评：本题给出α、β的正弦余弦的表达式，求β的正切最大值并求此时α+β的正切值，着重考查了两角和与差的余弦、两角和的正切公式和同角三角函数的关系等知识，属于基础题．