Question

已知函数f（x）=lnx-ax-3（a≠0），
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若对于任意的a∈[1，2]，若函数g(x)=x3+

x2

2

[m-2f′(x)]在区间（a，3）上有最值，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）求证：ln(

1

22

+1)+ln(

1

32

+1)+ln(

1

42

+1)+…+ln(

1

n2

+1)＜1(n≥2，n∈N*)．

Answer 1

（Ⅰ）由已知得f（x）的定义域为（0，+∞），且f′(x)=

1

x

-a，
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，

1

a

），减区间为（

1

a

，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），无减区间；（4分）
（Ⅱ）g(x)=x3+

x2

2

[m-2f′(x)]=x3+(

m

2

+a)x2-x，∴g'（x）=3x²+（m+2a）x-1，∵g（x）在区间（a，3）上有最值，∴g（x）在区间（a，3）上不总是单调函数，
又g′(0)=-1∴

g′(a)＜0 g′(3)＞0

（6分）
由题意知：对任意a∈[1，2]，g'（a）=3a²+（m+2a）•a-1=5a²+ma-1＜0恒成立，∴m＜

1-5a2

a

=

1

a

-5a，因为a∈[1，2]，所以m＜-

19

2

，
对任意，a∈[1，2]，g'（3）=3m+26+6a＞0恒成立，∴m＞-

32

3

∴-

32

3

＜m＜-

19

2

（9分）
（Ⅲ）令a=1此时f（x）=lnx-x-3，由（Ⅰ）知f（x）=lnx-x-3在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴当x∈（0，+∞）时f（x）＜f（1），∴lnx＜x-1对一切x∈（0，+∞）成立，∴ln（x+1）＜x对一切x∈（0，+∞）成立，∵n≥2，n∈N*，则有ln(

1

n2

+1)＜

1

n2

，（12分）∴ln(

1

22

+1)+ln(

1

32

+1)++ln(

1

n2

+1)＜

1

22

+

1

32

++

1

n2

＜

1

1×2

+

1

2×3

++

1

(n-1)n

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n-1

-

1

n

)=1-

1

n

＜1
（14分）