Question

如果函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，且f（x）为增函数，f（x•y）=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）求证：f（）=f（x）-f（y）；
（Ⅱ）已知f（3）=1，且f（a）-f（a-1）＞2，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵f（x）=f（ •y）=f（）+f（y），
∴f（ ）=f（y）-f（x）．                   …
（Ⅱ）解：∵f（3）=1，由条件f（x•y）=f（x）+f（y），
∴f（3）+f（3）=f（9），
∵f（a）-f（a-1）＞2，由（1）得f（）＞f（9）．
∵f（x）是增函数，∴＞9．
又a＞0，a-1＞0，∴1＜a＜．
∴a的取值范围是1＜a＜．
分析：（Ⅰ）由题意可得，f（x）=f（•y）=f（）+f（y），可证
（Ⅱ）由f（3）=1，及f（x•y）=f（x）+f（y），可求f（9）=2，而由f（a）-f（a-1）＞2可得f（）＞f（9），结合f（x）是增函数，可得＞9，解不等式可求
点评：本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值及利用函数的单调性解抽象不等式，善于利用已知是解答本题的关键