Question

【题目】平面直角坐标系中，圆M与y轴相切，并且经过点，．

（1）求圆M的方程;

（2）过点作圆M的两条互垂直的弦AC、BD，求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 最大值为5．

【解析】

（1）通过分析题意，可设圆心坐标为，再通过待定系数法即可求得。

（2）若采用直线方程和圆的方程联立求解相对较为复杂，可采用将题设条件转化为圆心到直线距离问题，结合勾股定理可大大简化运算，最后再结合均值不等式进行求解。

解：（1）由题意，M在线段PQ的垂直平分线（即x轴）上，设；

由圆M与y轴相切，所以圆M的半径为，

圆M的标准方程为，

代入，解得，所以圆M的方程为.

（2）设圆心M到直线AC，BD的距离分别为m，n，则，

且，，

四边形ABCD的面积

因为，且m，n均为非负数，所以，

当且仅当，等号成立；

综上，四边形ABCD面积的最大值为5．